Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）（其中a＞0，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若x=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若過原點所作曲線y=f（x）的切線l與直線y=-ex+1垂直，證明：$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+e^x-1，當(dāng)x≥1時，g（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）的一個極值點，得到e-a=0，求出a的值即可；
（2）求出切線l的方程，得到a═$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$，且lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（3）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g′（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，再通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-a（x-1），∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵x=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）的一個極值點，
∴f′（$\frac{1}{e}$）=e-a=0，解得：a=e，
經(jīng)檢驗，a=e符合題意；
（2）∵過原點所作曲線y=f（x）的切線l與直線y=-ex+1垂直，
∴切線l的斜率為k=$\frac{1}{e}$，方程是y=$\frac{1}{e}$x，
設(shè)l與y=f（x）的切點為（x₁，y₁），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′{（x}_{1}）=\frac{1}{e}}\\{{y}_{1}=l{nx}_{1}-a{（x}_{1}-1）}\\{{y}_{1}={\frac{1}{e}x}_{1}}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$，且lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，
令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，則m′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∴m（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
若x₁∈（0，1），∵m（$\frac{1}{e}$）=-2+e-$\frac{1}{e}$＞0，m（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，
∴x₁∈（$\frac{1}{e}$，1），
而a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$在x₁∈（$\frac{1}{e}$，1）遞減，
∴$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$，
若x₁∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）遞增，且m（e）=0，則x₁=e，
∴a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0（舍），
（3）∵g（x）=f（x）+e^x-1=lnx-a（x-1）+e^x-1，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-a+e^x-1，
①0＜a≤2時，∵e^x-1≥x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-a+e^x-1，≥$\frac{1}{x}$+x-a≥2-a≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=1恒成立，符合題意；
②當(dāng)a＞2時，∵g″（x）=$\frac{{{e}^{x-1}x}^{2}-1}{{x}^{2}}$≥0，
∴g′（x）在[1，+∞）遞增，
∵g′（1）=2-a＜0，
易知存在x₀∈[1，+∞），使得g′（x₀）=0，
∴g（x）在（1，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）單調(diào)遞增，
∴x∈（1，x₀）時，g（x）＜g（1）=1，
∴g（x）≥1不恒成立，不符合題意；
綜上可知所求實數(shù)a的范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查曲線的切線方程問題，是一道綜合題．