Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2^x}&{（{x≤2}）}\\{{{log}_{\frac{1}{2}}}x}&{（{x＞2}）}\end{array}}$，則函數(shù)y=f（1-x）的最大值為4．

Answer 1

分析 運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的最大值，再由對稱和平移變換可得y=f（1-x）的圖象，即可得到所求最大值．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2^x}&{（{x≤2}）}\\{{{log}_{\frac{1}{2}}}x}&{（{x＞2}）}\end{array}}$，可得：
x≤2時，2^x≤4，且當x=2時，取得最大值4；
x＞2時，log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-1．
即有函數(shù)f（x）的最大值為4；
函數(shù)f（-x）的圖象可由f（x）的圖象關于y軸對稱得到，
則函數(shù)f（-x）的最大值為4，
函數(shù)y=f（1-x）的圖象可由函數(shù)y=f（-x）圖象向右平移得到．
則函數(shù)y=f（1-x）的最大值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用圖象變換：對稱和平移，同時考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于基礎題．