Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公比為q，a₄，a₃，a₅依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）當(dāng)q＜0時(shí)，求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）當(dāng)q＞0時(shí)，求證：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}^{2}}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-{a}_{i}^{2}}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（III）利用“裂項(xiàng)求和”與不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 （I）解：∵a₄，a₃，a₅依次成等差數(shù)列，
∴2a₃=a₅+a₄，
∴2a₃=a₃（q²+q），化為q²+q-2=0，解得q=1或-2．
（II）解：q=-2．∴a_n=（-2）^n-1．
∴na_n=n（-2）^n-1．
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+2×（-2）+3×（-2）²+…+n（-2）^n-1，
-2S_n=（-2）+2×（-2）²+…+（n-1）×（-2）^n-1+n（-2）ⁿ，
∴3S_n=1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n（-2）ⁿ=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$-n（-2）ⁿ=$\frac{1}{3}-\frac{1+3n}{3}$（-2）ⁿ，
∴S_n=$\frac{1}{9}$-$\frac{1+3n}{9}（-2）^{n}$．
（III）證明：q=1，
a_n=1．
∴$\frac{{a}_{i}^{2}}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-{a}_{i}^{2}}$=$\frac{1}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-1}$=$\frac{3}{4}$$（\frac{1}{3i-2}-\frac{1}{3i+1}）$．
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}^{2}}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-{a}_{i}^{2}}$=$\frac{3}{4}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．