Question

13．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．當(dāng)m為何值時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{6}$？

Answer 1

分析 由題意求出橢圓方程，化直線的參數(shù)方程為普通方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用弦長(zhǎng)公式求解．

解答 解：由已知可設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
且2a=4，2b=2，則a=2，b=1．
∴橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
化直線參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$為y=2x+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得8x²+4mx+m²-4=0．
設(shè)直線l被圓所截的弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則△=16m²-32（m²-4）=128-16m²＞0，得-2$\sqrt{2}$＜m＜$2\sqrt{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{m}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-4}{8}$．
∴|AB|=$\sqrt{5}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{5}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-\frac{{m}^{2}-4}{2}}=\sqrt{6}$．
解得：m=$±\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴m=$±\frac{4\sqrt{5}}{5}$時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了參數(shù)方程化普通方程，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，是中檔題．