Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱(chēng)此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．

（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；

（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由，

Answer 1

【答案】（1）1

（2）

（3）

【解析】

（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡(jiǎn)得，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果；

（2）根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)得，求得，即得；

（3）根據(jù)定義得，利用立方差公式化簡(jiǎn)得兩個(gè)方程，再根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結(jié)果

（1）

（2）

，

（3）假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列.

或

或

∵對(duì)于給定的，存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列，且

或有兩個(gè)不等的正根.

可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個(gè)不等正根，設(shè).

① 當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，，滿足題意.

② 當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，，此情況有兩個(gè)不等負(fù)根，不滿足題意舍去.

綜上，