Question

16．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)．
（1）證明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先由已知條件證明∴△ADB為等邊三角形，AB⊥DE，易證AB⊥PD，得到AB⊥面PED，進(jìn)而證明面PED⊥面PAB．
（2）先由二面角的定義找出二面角的平面角，把二面角的平面角放在一個(gè)三角形中，求出此角的余弦值．

解答 （1）證明：連接BD．∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB為等邊三角形．
∵E是AB中點(diǎn)，∴AB⊥DE．（2分）
∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED． （4分）
∵AB?面PAB，
∴面PED⊥面PAB．  （6分）
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．
連接EF，∵EF?PED，
∴AB⊥EF．
∴∠PEF為二面角P-AB-F的平面角．（9分）
設(shè)AD=2，那么PF=FD=1，DE=$\sqrt{3}$．
在△PEF中，PE=$\sqrt{7}，EF=2，PF=1$，
∴$cos∠PEF=\frac{{{{（\sqrt{7}）}^2}+{2^2}-1}}{{2×2\sqrt{7}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值為$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)面面垂直的判定定理以及二面角的平面角的定義是解決本題的關(guān)鍵．