Question

已知定義在R上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（x），在點x=1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+2）上是增函數(shù)，求實數(shù)m所有取值的集合；
（3）當(dāng)x₁，x₂∈R時，求f′（x₁）-f′（x₂）的最大值．

Answer 1

解：（1）∵是奇函數(shù)，∴f（0）=0，求得b=0，
又∵，且f（x）在點x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，解得a=1，故．
（2）∵，由f′（x）＞0得，-1＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1）．
若f（x）在區(qū)間（m，m+2）上是增函數(shù)，則有m=-1．
即m取值的集合為{-1}．
（3）∵，
令，則，
∴，
∴，
∴f′（x₁）-f′（x₂）的最大值為．
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的結(jié)論f（0）=0求出b的值，再由點x=1處取得極值得f′（1）=0，求出a的值；
（2）由（1）求出f′（x），再令f′（x）＞0，求出x的范圍，得到增區(qū)間（-1，1），結(jié)合題意求出m的值；
（3）把f′（x）分離常數(shù)后，再利用換元法，即，求出t的范圍，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，求出f′（x）的值域，讓最大值減去最小值，即是所求的值．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值問題，奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，分離常數(shù)和換元法求最值，難度大，綜合性強．