Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，為正三角形，為線段的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若與平面所成角的大小為60°，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設，的中點分別為，，連接，，，先證明平面，再通過證明四邊形為平行四邊形，得到，則可得平面，進而可證明平面平面；

（2）先得到為與平面所成的角，故，再以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出面的一個法向量和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式可求．

（1）設，的中點分別為，，連接，，，

∵為正三角形，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∵，分別為，的中點，

∴，且，

在棱柱中，，，

又∵為的中點，∴，，

∴，，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）∵平面平面，

∴在平面內的射影落在上，

∴為與平面所成的角，故，

連接，則點為線段的中點，

∵， 則，

設，則，，

以為原點，分別以，，所在直線為軸，

軸，軸建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

∴，，

∵平面平面，平面平面，

，∴平面，

平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，則

，即，

取，則，，∴，

∴，

∴二面角的余弦值為.

【詳睛】

本題主要考查空間面面垂直的判定與性質，線面角的定義以及二面角求法等知識，考查空間想象能力推理論證能力運算求解能力，是中檔題.