【題目】已知函數(shù).其中常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).

1)若,求上的極大值點(diǎn);

2)(i)證明上單調(diào)遞增;

ii)求關(guān)于x的方程上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

【答案】1)極大值點(diǎn)為2)(i)證明見解析;(ii)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2

【解析】

1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可;

2只需證明,問題轉(zhuǎn)化為只需證明,令,,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可;

求出,再證明函數(shù)的最大值;令函數(shù),先求函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),再求函數(shù)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而求出方程解的個(gè)數(shù).

解:(1)易知,

,則,所以可得下表:

x

0

極大值

∴函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

∴函數(shù)的極大值點(diǎn)為.

2)(i)∵,∴在上必存在唯一實(shí)數(shù),使得

∴易知函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

欲證明上單調(diào)遞增,只需證明:,

,∴,故只需證明,

,,則,

∴函數(shù)上單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時(shí),,

,即,亦即.

∴函數(shù)上單調(diào)遞增.

ii)先證明當(dāng)時(shí),有,

,,則,

∴函數(shù)上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)時(shí),,即,

再證明函數(shù)的最大值,

顯然,∴,,

,∴,

下證,令,則

即證),即證),

,則,∴函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),

∴當(dāng)時(shí),,∴),

,

令函數(shù),,

先求函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),

,,且函數(shù)上單調(diào)遞減

∴函數(shù)上有唯一零點(diǎn),即函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1

再求函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),

,,且函數(shù)上單調(diào)遞增,

∴①當(dāng)時(shí),,即,故函數(shù)上沒有零點(diǎn),

即函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;

②當(dāng)時(shí),,即,故函數(shù)上有唯一零點(diǎn),

即函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1

當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

∴當(dāng)時(shí),關(guān)于x的方程上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為1

當(dāng)時(shí),關(guān)于x的方程上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.

練習(xí)冊系列答案
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1)根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖,估算年銷量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

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①根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)年銷售利潤不低于270萬元的概率:

②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據(jù),試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個(gè)方案.6年的凈利潤=6年銷售利潤-設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用)

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