Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足${S_n}=-2{a_n}+1-\frac{1}{3^n}$，${c_n}={（{\frac{3}{2}}）^n}{a_n}$，則數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式${c_n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{{3•{2^{n-1}}}}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出首項(xiàng)，利用遞推關(guān)系式，求出數(shù)列{c_n-c_n-1}是一個(gè)等比數(shù)列，然后求解即可．

解答 解：由${a_1}={S_1}=-2{a_1}+1-\frac{1}{3^1}$，解得${a_1}=\frac{2}{9}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{-2{a_n}+1-\frac{1}{3^n}}）-（{-2{a_{n-1}}+1-\frac{1}{{{3^{n-1}}}}}）=2{a_{n-1}}-2{a_n}$$+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}-\frac{1}{3^n}$，
解得${a_n}=\frac{2}{3}{a_{n-1}}+\frac{2}{{{3^{n+1}}}}$，
兩邊同時(shí)乘以$\frac{3^n}{2^n}$得${（{\frac{3}{2}}）^n}{a_n}={（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}{a_{n-1}}+\frac{{{2^{1-n}}}}{3}$，
由${c_n}={（{\frac{3}{2}}）^n}{a_n}$，所以${c_{n-1}}={（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}{a_{n-1}}$，則${c_n}={c_{n-1}}+\frac{{{2^{1-n}}}}{3}$，
所以數(shù)列{c_n-c_n-1}是一個(gè)等比數(shù)列，
所以${c_2}-{c_1}=\frac{1}{6}$，${c_3}-{c_2}=\frac{1}{12}$，${c_4}-{c_3}=\frac{1}{24}$，…，${c_n}-{c_{n-1}}=\frac{{{2^{1-n}}}}{3}$，
將上述式子相加，可得${c_n}-{c_1}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{{{2^{1-n}}}}{3}=\frac{{\frac{1}{6}（{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}）}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}（{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}）$，
而${c_1}=\frac{3}{2}•\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$，所以${c_n}=\frac{1}{3}（{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}）+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{{3•{2^{n-1}}}}$．
故答案為：${c_n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{{3•{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．