Question

10．設(shè)橢圓C：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），直線l：y=x+1與橢圓C交于P，Q兩點
（1）設(shè)坐標原點為O，當OP⊥OQ時，求m+n的值；
（2）對（1）中的m和n，當|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m+n）x²+2nx+n-1=0．由OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．
（2）|PQ|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{n}^{2}}{（m+n）^{2}}-\frac{4（n-1）}{m+n}]}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，把m+n=2代入整理為4n²-8n+3=0，解出即可得出．

解答 解：（1）依題意，設(shè)點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化為（m+n）x²+2nx+n-1=0，∴x₁+x₂=$\frac{-2n}{m+n}$，x₁x₂=$\frac{n-1}{m+n}$．
由OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{2（n-1）}{m+n}$-$\frac{2n}{m+n}$+1=0，化為m+n=2．
（2）|PQ|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{n}^{2}}{（m+n）^{2}}-\frac{4（n-1）}{m+n}]}$，
把m+n=2代入整理為4n²-8n+3=0，解得$n=\frac{1}{2}$，m=$\frac{3}{2}$，或m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{3{y}^{2}}{2}$=1，或$\frac{3{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．