Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^{x+1}}+1}}{{{2^x}+1}}$-xcosx（-π≤x≤π）的最大值M與最小值m的關(guān)系是（　　）

• A． M+m=4
• B． M+m=3
• C． M-m=4
• D． M-m=3

Answer 1

分析 先將函數(shù)f（x）變形，再設(shè)g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$-xcosx，由函數(shù)的奇偶性的定義，可得g（x）為奇函數(shù)，則g（x）的最值互為相反數(shù)，即可得到所求M，m的關(guān)系．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{{2^{x+1}}+1}}{{{2^x}+1}}$-xcosx=2-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-xcosx
=$\frac{3}{2}$+$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$-xcosx，
令g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$-xcosx，
由g（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$+xcos（-x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$+xcosx
=-g（x），
則g（x）是奇函數(shù)，
設(shè)g（x）在[-π，π]的最大值為A與最小值為a，
則A+a=0，
即有M=$\frac{3}{2}$+A，m=$\frac{3}{2}$+a，
則M+m=3+A+a=3．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的最值的求法，注意運用構(gòu)造法，考查奇函數(shù)的性質(zhì)，以及運算能力，是一道中檔題．