Question

3．如圖隨時，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點，OC⊥AD．過點B作⊙O的切線PB交AD的延長線于點P，連接BC交AD于點E．
（1）求證：PE²=PD•PA；
（2）若AB=PB，求△CDE與△ABE面積之比．

Answer 1

分析 （1）先證明：PB=PE，再利用切割線定理證明PE²=PD•PA；
（2）由余弦定理可得CD²=（2-$\sqrt{2}$）OC²，利用△CDE∽△ABE，求△CDE與△ABE面積之比．

解答 （1）證明：∵過點B作⊙O的切線PB交AD的延長線于點P，
∴∠OBP=90°，
∴∠OBC+∠CBP=90°．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OC⊥AD，
∴∠OCB+∠CEA=90°，
∴∠BEP=∠CEA=∠CBP，
∴PB=PE，
∵PB²=PD•PA；，
∴PE²=PD•PA；
（2）解：連接OD，
∵AB=PB，BD⊥PA，
∴D為PA的中點，
∵O為AB的中點，
OD∥PB，
∵∠OBP=90°，
∴∠AOD=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠COD=45°．
由余弦定理可得CD²=（2-$\sqrt{2}$）OC²，
∵△CDE∽△ABE，
∴△CDE與△ABE面積之比=CD²：AB²=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

點評 本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．