14.如圖,矩形ADEF和矩形ABCD有公共邊AD.
(1)若它們所在平面互相垂直,AB=2,AD=4,AF=3,設(shè)∠AEB=α,∠EBD=β,則cosα:cosβ=$\sqrt{5}$:2.
(2)若它們所在的平面成60°的二面角,AB=CB=2a,DE=a,則BE=$\sqrt{7}$a.

分析 (1)應(yīng)用二面角的定義和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,結(jié)合解直角三角形,即可得到比值;
(2)連接BF,由AB⊥AD,AF⊥AD,可得∠BAF為二面角B-AD-F的平面角,且為60°,應(yīng)用余弦定理可得BF,再由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,結(jié)合勾股定理,計(jì)算即可得到BE的值.

解答 解:(1)由題意可得,AB⊥AD,AF⊥AD,AB⊥AF,
即有AB⊥平面ADEF,可得AB⊥AE,
在直角三角形ABE中,cosα=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{9+16}}{\sqrt{9+16+4}}$=$\frac{5}{\sqrt{29}}$;
同理在直角三角形DBE中,cosβ=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{4+16}}{\sqrt{29}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{29}}$;
則cosα:cosβ=$\sqrt{5}$:2;
(2)連接BF,由AB⊥AD,AF⊥AD,
可得∠BAF為二面角B-AD-F的平面角,且為60°,
由余弦定理可得BF2=BA2+FA2-2BA•FAcos60°=4a2+a2-2•2a•a•$\frac{1}{2}$
=3a2
由線面垂直的判定定理可得AD⊥平面ABF,即有AD⊥BF,
AD∥EF,則EF⊥BF,
在直角三角形BEF中,BE2=BF2+EF2=3a2+4a2=7a2
則BE=$\sqrt{7}$a.
故答案為:$\sqrt{5}$:2,$\sqrt{7}$a.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間二面角的求法和應(yīng)用,同時(shí)考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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