Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+4x+4，若存在實數(shù)t，當x∈[1，t]時，f（x-a）≤4x（a＞0）恒成立，則實數(shù)t的最大值是9．

Answer 1

分析 化簡可得當x∈[1，t]時，（x-a）²-4a+4≤0（a＞0）恒成立，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}-4a+4≤0}\\{（t-a）^{2}-4a+4≤0}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+4x+4，
∴f（x-a）=（x-a）²+4（x-a）+4
=（x-a）²+4x-4a+4；
∵當x∈[1，t]時，f（x-a）≤4x（a＞0）恒成立，
∴當x∈[1，t]時，（x-a）²-4a+4≤0（a＞0）恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}-4a+4≤0}\\{（t-a）^{2}-4a+4≤0}\end{array}\right.$，
由（1-a）²-4a+4≤0解得，
1≤a≤5；
由（t-a）²-4a+4≤0可得，
a-$\sqrt{4a-4}$≤t≤a+$\sqrt{4a-4}$，
故當a=5時，a+$\sqrt{4a-4}$有最大值5+4=9，
故實數(shù)t的最大值是9，
故答案為：9．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與二次不等式的解法，同時考查了轉(zhuǎn)化思想與整體思想的應(yīng)用．