Question

7．春節(jié)期間，小明得到了10個(gè)紅包，每個(gè)紅包內(nèi)的金額互不相同，且都不超過(guò)150元．已知紅包內(nèi)金額在（0，50]的有3個(gè)，在（50，100]的有5個(gè)，在（100，150]的有2個(gè)．
（Ⅰ）小明為了感謝父母，特地從金額在（0，50]和（100，150]的紅包中拿出兩個(gè)給父母，求這兩個(gè)紅包中至少有一個(gè)紅包的金額在（100，150]的概率；
（Ⅱ）試估計(jì)這個(gè)春節(jié)小明所得10個(gè)紅包金額的平均數(shù)，并估計(jì)小明所得紅包總金額．

Answer 1

分析 （I）設(shè)金額在（0，50]的3個(gè)紅包分別為a，b，c，金額在（100，150]的兩個(gè)紅包分別為M，N，由此列舉法能求出這兩個(gè)紅包中至少有一個(gè)紅包的金額在（100，150]的概率．
（Ⅱ）3種紅包金額的中間數(shù)依次為25，75，125，頻率分別為$\frac{3}{10}，\frac{1}{2}，\frac{1}{5}$，由此能估計(jì)這個(gè)春節(jié)小明所得10個(gè)紅包金額的平均數(shù)和小明所得紅包總金額．

解答 解：（I）設(shè)金額在（0，50]的3個(gè)紅包分別為a，b，c，金額在（100，150]的兩個(gè)紅包分別為M，N，
從這5個(gè)紅包中拿出兩個(gè)的基本事件可列舉如下：
ab，ac，aM，aN，bc，bM，bN，cM，cN，MN．即有10個(gè)基本事件，
設(shè)至少有1個(gè)紅包的金額在（100，150]為事件A，
則A中有7個(gè)基本事件，
所以$P（A）=\frac{7}{10}$．
（Ⅱ）3種紅包金額的中間數(shù)依次為25，75，125，頻率分別為$\frac{3}{10}，\frac{1}{2}，\frac{1}{5}$，
所以$\overline x=\frac{3}{10}×25+\frac{1}{2}×75+\frac{1}{5}×125=70$，
于是小明今年春節(jié)所得10個(gè)紅包金額的平均數(shù)約為70元，總金額約為700元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．