Question

18．在平面直角坐標系中，點P是直線l：x=-1上一動點，點F（1，0），點Q為PF的中點，點M滿足MQ⊥PF且$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，過點M作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點分別A，B，則|AB|的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由題意首先求出M的軌跡方程，然后在M滿足的曲線上設(shè)點，只要求曲線上的點到圓心的距離的最小值，即可得到|AB|的最小值．

解答 解：設(shè)M（x，y），由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，得P（-1，y），
由點Q為PF的中點知 Q（0，$\frac{y}{2}$），
又∵QM⊥PF，∴QM、PF斜率乘積為-1，
即$\frac{y-\frac{y}{2}}{x}•\frac{y}{-1-1}=-1$，
得：y²=4x，
∴M的軌跡是拋物線，
設(shè)M（y²，2y），到圓心（3，0）的距離為d，d²=（y²-3）²+4y²=y⁴-2y²+9=（y²-1）²+8，
∴y²=1時，d_min=$2\sqrt{2}$，此時的切線長為$\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$，
∴|AB|的最小值為2×$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$．
故選：D．

點評 本題考查了拋物線軌跡方程的求法以及與圓相關(guān)的距離的最小值求法，屬于中檔題．