Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-2kx．
（1）若f（1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求f（x）的表達(dá)式；
（2）若g（x）在x∈[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）求g（x）在x∈[-2，2]上的最小值h（k）．

Answer 1

分析：（1）由已知f（1）=0可得a+b+1=0，由f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）可得△=b²-4a=0，聯(lián)立方程可求a，b，進(jìn)而可求f（x）
（2）由g（x）=f（x）-2kx=ax²+（b-2k）x+1，分類討論：1°當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=（b-2k）x+1，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可求；2°當(dāng)a≠0時(shí)，g（x）的對(duì)稱軸：x=

2k-b

2a

，由g（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)可得

2k-b

2a

≤-1或

2k-b

2a

≥1可求
（3）：1°當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=（b-2k）x+1，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性可求；2°當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的對(duì)稱軸：x=

2k-b

2a

且開(kāi)口向上，通過(guò)討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性可求

解答：解：（1）顯然a≠0
∵f（1）=0
∴a+b+1=0-----------（1分）
∵x∈R，且f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）
∴△=b²-4a=0---------（3分）
由

a+b+1=0 b2-4a=0

可得

a=1 b=-2

∴f（x）=x²-2x+1（5分）
（2）g（x）=f（x）-2kx=ax²+（b-2k）x+1
1°當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=（b-2k）x+1，
∵g（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)，
∴b≠2k
2°當(dāng)a≠0時(shí)，g（x）圖象滿足：對(duì)稱軸：x=

2k-b

2a

∵g（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)
∴

2k-b

2a

≤-1或

2k-b

2a

≥1
①當(dāng)a＞0時(shí)，k≤-a+

b

2

或k≥a+

b

2

②當(dāng)a＜0時(shí)，k≤a+

b

2

或k≥-a+

b

2

（10分）
（3）：1°當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=（b-2k）x+1
①當(dāng)b-2k=0，即k=

b

2

時(shí)，h（k）=1
②當(dāng)b-2k＞0，即k＜

b

2

時(shí)，h（k）=g（-2）=4k-2b+1
③當(dāng)b-2k＜0，即k＞

b

2

時(shí)，h（k）=g（2）=-4k+2b+1
2°當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）圖象滿足：對(duì)稱軸：x=

2k-b

2a

且開(kāi)口向上
①當(dāng)

2k-b

2a

＜-2，即k≤-2a+

b

2

時(shí)，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1
②當(dāng)-2≤

2k-b

2a

≤2，即-2a+

b

2

≤k≤2a+

b

2

時(shí)，h(k)=g(

2k-b

2a

)=-

(2k-b)2

4a

+1
③當(dāng)

2k-b

2a

＞2，即k≤2a+

b

2

時(shí)，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
3°當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）圖象滿足：對(duì)稱軸：x=

2k-b

2a

且開(kāi)口向下
①當(dāng)

2k-b

2a

＜0，即k＞

b

2

時(shí)，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
②當(dāng)

2k-b

2a

＞0，即k＜

b

2

時(shí)，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并注意分類討論思想的應(yīng)用