Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)P（1，-2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把定點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求得p，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)拋物線C：y²=2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)P（1，-2），可得4=2p，解得p=2．
從而拋物線的方程為y²=4x，準(zhǔn)線方程為x=-1；
（Ⅱ）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
∴直線l：y=2x-2．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=2x-2 y2=4x

，得：4x²-12x+4=0，即x²-3x+1=0．
則由韋達(dá)定理有：x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
則弦長(zhǎng)|AB|=

5

|x1-x2|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

9-4

=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．