Question

8．已知圓C的方程為x²+y²-4x=0，過(guò)點(diǎn)A（4，0）斜率為k的直線(xiàn)l與圓交于另一點(diǎn)B，且AB=2$\sqrt{2}$．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）k＞0時(shí)，求過(guò)點(diǎn)B且與圓C相切的直線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析 （1）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用圓的半徑、弦長(zhǎng)、弦心距間的關(guān)系求出圓心C到直線(xiàn)l的距離，設(shè)出直線(xiàn)方程，由圓心到直線(xiàn)的距離列式求出直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)方程可求；
（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和圓的方程，求出B的坐標(biāo)，由圖可直接得到過(guò)點(diǎn)B且與圓C相切的直線(xiàn)的方程．

解答 解：（1）如圖，
由x²+y²-4x=0，得（x-2）²+y²=4．
∴圓C的圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑為2．
∵AB=2$\sqrt{2}$，且CA=2，∴C到直線(xiàn)l的距離d=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$．
設(shè)AB所在直線(xiàn)方程為y=kx-4k，即kx-y-4k=0．
由$\frac{|2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{2}$，解得：k=±1．
∴直線(xiàn)l的方程為x-y-4=0或x+y-4=0；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，直線(xiàn)l方程為x-y-4=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-4=0}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得B（2，-2）．
∴過(guò)點(diǎn)B且與圓C相切的直線(xiàn)的方程為y=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線(xiàn)方程，考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．