Question

2．（Ⅰ）已知$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x+lnx}$，求f′（x）；
（Ⅱ）已知曲線y=e^-2x+1，求曲線在點(diǎn)（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x+lnx}$，利用導(dǎo)數(shù)公式求f′（x）；
（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)y=e^-2x+1求導(dǎo)，求出y在x=0處的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程，再利用面積公式進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x+lnx}$，
∴f′（x）=$\frac{2x（x+lnx）+（{x}^{2}-1）（1+\frac{1}{x}）}{（x+lnx）^{2}}$；
（Ⅱ）：∵y=e^-2x+1，
∴y′=-2e^-2x，
∴切線的斜率k=y′|_x=0=-2，且過(guò)點(diǎn)（0，2），
∴切線為：y-2=-2x，∴y=-2x+2，
∴切線與x軸交點(diǎn)為：（1，0），與y=x的交點(diǎn)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為：S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上的點(diǎn)的切線，注意斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，此題是一道基礎(chǔ)題．