Question

17．函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，則函數(shù)$g（x）={x^2}+\frac{2b}{3}x+\frac{c}{3}$的單調(diào)遞減區(qū)間是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• C． （-2，3）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由圖象得到f′（-2）=f（3）=0，聯(lián)立求得b，c的值，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
由圖可知f′（-2）=f（3）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-4b+c=0}\\{27+6b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-18}\end{array}\right.$，
$g（x）={x^2}+\frac{2b}{3}x+\frac{c}{3}$=x²-x-6，g′（x）=2x-1，
令g′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
故g（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）遞減，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．