Question

3．已知函數(shù)f（x）=$lo{g}_{2}[-a{x}^{2}+（a+1）x-1]$（a≠1）的定義域為集合A．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）根據(jù)a的不同取值，求出集合A．

Answer 1

分析 （1）a=-1，則函數(shù)f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-1）$，令f（x）=0，可得函數(shù)f（x）的零點；
（2）對a值進行分類討論，結論一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得不同情況下集合A．

解答 解：（1）a=-1，則函數(shù)f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-1）$，
由f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-1）$=0得：x²-1=1，解得：x=$±\sqrt{2}$，
故函數(shù)f（x）的零點為-$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$；
（2）若a=0，則函數(shù)f（x）=log₂（x-1），由x-1＞0得：x＞1，故A=（1，+∞），
若a≠0，解-ax²+（a+1）x-1=0得：x=1，或x=$\frac{1}{a}$，
若a＜0，則由-ax²+（a+1）x-1＞0得：x＜$\frac{1}{a}$，或x＞1，故A=（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（1，+∞），
若0＜a＜1，則由-ax²+（a+1）x-1＞0得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，故A=（1，$\frac{1}{a}$），
若a＞1，則由-ax²+（a+1）x-1＞0得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，故A=（$\frac{1}{a}$，1）．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．