Question

13．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞0，b₁＞0）和橢圓$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0）滿足$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$，則稱這兩個橢圓相似．
（Ⅰ）求經(jīng)過點M（2，3），且與橢圓E₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相似的橢圓E₂的方程；
（Ⅱ）設點P（8，0），A，B是橢圓E₂上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結PB交橢圓E₂于另一點C，證明：直線AC與x軸相交于定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓E₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由橢圓相似和點滿足橢圓方程，列出方程組，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線PB的方程為y=k（x-8）．代入橢圓方程，得（4k²+3）x²-64k²x+256k²-48=0．設點B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則直線AC的方程為y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂），由此能證明直線AC與x軸相交于定點Q（2，0）．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓E₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由橢圓相似可得，$\frac{4}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{^{2}}$，
又$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
即有$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（Ⅱ）證明：由題意知直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k（x-8）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-8）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-64k²x+256k²-48=0．①
設點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則A（x₁，-y₁）．直線AC的方程為y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂）．
令y=0，得x=x₂-$\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$．
將y₁=k（x₁-8），y₂=k（x₂-8）代入，
整理，得x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-8（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-16}$．②
由①得x₁+x₂=$\frac{64{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{256{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，
代入②，整理，得x=2．
∴直線AC與x軸相交于定點Q（2，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點的求法，解題時要認真審題，注意聯(lián)立方程消元思想的合理運用．