Question

18．已知函數(shù)f（x）=1g（2+x）+lg（2一x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）記函數(shù)g（x）=10^f（x）+3x．求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)真數(shù)為正，列出不等式組求得定義域；
（2）利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）運用配方法求函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=1g（2+x）+lg（2-x）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解得x∈（-2，2），
函數(shù)的定義域為（-2，2）；
（2）由（1）知，函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=f（x），
所以，f（x）為偶函數(shù)；
（3）∵f（x）=1g（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²），
∴g（x）=$1{0}^{lg（4-x^2）}+3x$=4-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
由于x∈（-2，2），所以，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，g（x）_max=$\frac{25}{4}$，
當(dāng)x=-2時，g（x）_min=-6（不能取等），
所以，g（x）的值域為（-6，$\frac{25}{4}$]．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，奇偶性的判斷，以及函數(shù)值域的求解，屬于中檔題．