【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).

（1）證明：在定義域上存在唯一的極大值點(diǎn)；

（2）若存在,使,證明：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,又因?yàn)?/span>,,判斷出單調(diào)性,即可證明在定義域上存在唯一的極大值點(diǎn).

（2）假設(shè)存在,使,代入函數(shù)得,整理得.設(shè)新函數(shù),求導(dǎo)結(jié)果大于,在上遞增,再設(shè),則,即,,整理可得,根據(jù)對數(shù)均值不等式得出.

（1）,

當(dāng)時(shí),,,,

“”不能同時(shí)取到,所以；

當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,

因?yàn)?/span>,,

所以在定義域存在唯一,使且；

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

所以是在定義域上的唯一極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn).

（2）存在,使,即,

得.

設(shè),則,在上遞增,

不妨設(shè),則,即,,

所以,得,

根據(jù)對數(shù)均值不等式,可得,.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.

購買金額（元）

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

（1）求購買金額不少于45元的頻率；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).

不少于60元

少于60元

合計(jì)

男

40

女

18

合計(jì)

附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.

附表：

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面，平面，四邊形是邊長為的菱形，，，.

（1）證明：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線與恰有一個(gè)公共點(diǎn).

(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)已知曲線上兩點(diǎn)，滿足，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若偶函數(shù)y=f（x）(滿足f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)g（x）=f（x）-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列、滿足，其中數(shù)列的前項(xiàng)和，

（1）若數(shù)列是首項(xiàng)為.公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求證：數(shù)列滿足，并寫出的通項(xiàng)公式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)，求證中任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其它兩項(xiàng)之積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f(x)是定義在R 且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中集合D=，則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是____________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，平面，且，設(shè)，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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