Question

函數(shù)f（x）=

1

a-a-1

（a^x-a^-x）（0＜a＜1），
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；   
（2）當(dāng)x∈（-1，1），解不等式f（1-m）+f（m-2）＜0；
（3）若f（x）-4當(dāng)且僅當(dāng)在x∈（-∞，2）上取負(fù)值，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合f（x）的奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行求解：由y=f（x）（x∈R）的奇偶性、單調(diào)性，由f（1-m）+f（m-2）＜0可得f（1-m）＜f（2-m），再利用y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)求解m的取值范圍．
（3）因?yàn)閒（x）-4當(dāng)且僅當(dāng)在x∈（-∞，2）上取負(fù)值，所以f（2）-4=

1

a-a-1

（a²-a^-2）-4=0，整理即可解得a的值．

解答： （1）證明：∵f(-x)=

1

a-a-1

(a-x-ax)=f(x)，x∈R∴f(x)為奇函數(shù)；
（2）解：∵0＜a＜1，∴y=a^x-a^-x在（-1，1）上是減函數(shù)，
∵

1

a-a-1

＜0，
∴y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（1-m）+f（m-2）＜0，
∴f（1-m）＜f（2-m），
∴1-m＜2-m且-1＜1-m＜1，-1＜2-m＜1，
∴1＜m＜2，
故不等式的解集{m|1＜m＜，2}；
（3）因?yàn)閒（x）-4當(dāng)且僅當(dāng)在x∈（-∞，2）上取負(fù)值，
所以f（2）-4=

1

a-a-1

（a²-a^-2）-4=0，
整理得a²-4a+1=0，
因?yàn)?＜a＜1，所以a=2-

3

．

點(diǎn)評：本題是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，特別是后面抽象不等式及恒成立問題，難度較大．