Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足，若λ∈[]，求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由短軸長(zhǎng)為2求出b，再由右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合c，從而得到長(zhǎng)半半軸長(zhǎng)a，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）先AB的方程y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量坐標(biāo)公式利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得直線AB的斜率的取值范圍，從而解決問題．
解答：解：（1）由已知b=，c=1，a=2，所以橢圓的方程（4分）
（2），D，A，B三點(diǎn)共線，D（-4，0），且直AB的斜率一定存在，所以AB的方程y=k（x+4），
與橢圓的方聯(lián)立得（3+4k²）y²-24ky+36k²=0
△＞0，k²＜．（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁+y₂=，y₁y₂=①
又得：（x₁+4，y₁）=λ（x₂+4，y₂），y₁=λy₂②．
將②式代入①式，消去y₂得：（9分）
當(dāng)λ∈[]，時(shí)，是減函數(shù)
∴，
解得
∴直線AB的斜率的取值范圍是（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量的運(yùn)算等．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．