Question

甲乙丙三位棋手按如下規(guī)則進(jìn)行比賽：第一局由甲乙參加而丙輪空，由第一局的勝者與丙進(jìn)行第二局比賽，敗者輪空，使用這種方式一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局為止，此人成為整場比賽的優(yōu)勝者．甲乙丙勝各局的概率都為0.5，求甲乙丙分別成為整場比賽優(yōu)勝者的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：利用無窮遞縮等比數(shù)列的各項和的求法求得甲可以在第2局獲勝，即開始兩局（第1局和第2局）連續(xù)獲勝，還可以在第5局，第8局，…第3n-1局獲勝的概率，再求得甲在第4局獲勝，即前兩局沒人獲勝，第3局和第4局甲連勝，以后還可以在第7局，第10局，…第3n+1局獲勝的概率，再把這2個概率相加，即得所求．

解答： 解：按此規(guī)則，甲如果獲勝，可以分成兩類：
（1）甲可以在第2局獲勝，即開始兩局（第1局和第2局）連續(xù)獲勝，還可以在第5局，第8局，…第3n-1局獲勝（第n輪，每三場比賽為一輪），
其概率為：P=

1 4

1- 1 8

=

2

7

（無窮遞縮等比數(shù)列所有項之和，首項

1

4

，公比

1

8

）．
（2）甲還可以在第4局獲勝，即前兩局沒人獲勝，第3局和第4局甲連勝，以后還可以在第7局，第10局，…第3n+1局獲勝，其概率為：
P=

1 16

1- 1 8

=

1

14

（無窮遞縮等比數(shù)列所有項之和，首項

1

16

，公比

1

8

）；所以甲獲勝的概率為：

2

7

+

1

14

 

5

14

，
而乙與甲獲勝概率相等，也為

5

14

，因此丙獲勝的概率為：

4

14

．

點(diǎn)評：本題主要考查無窮遞縮等比數(shù)列的各項和的求法，互斥事件的概率加法公式、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．