Question

17．某制藥廠對A、B兩種型號的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，從檢測的數(shù)據(jù)中隨機抽取10 次，記錄如表（ 數(shù)值越大表示產(chǎn)品質(zhì)量越好）：

A	7.9	9.0	8.3	7.8	8.4	8.9	9.4	8.3	8.5	8.5
B	8.2	9.5	8.1	7.5	9.2	8.5	9.0	8.5	8.0	8.5

（Ⅰ）畫出A、B兩種產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖；若要從A、B中選一種型號產(chǎn)品投入生產(chǎn)，從統(tǒng)計學(xué)角度考慮，你認(rèn)為生產(chǎn)哪種型號產(chǎn)品合適？簡單說明理由；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，對產(chǎn)品A今后的三次檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，記這三次數(shù)據(jù)中不低于8.5 的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知作出莖葉圖，分別求出兩種產(chǎn)品數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由$\overline{{x}_{A}}=\overline{{x}_{B}}$，$s_A^2＜s_B^2$，從統(tǒng)計學(xué)角度考慮，生產(chǎn)A型號產(chǎn)品合適．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及期望Eξ．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）A、B兩種產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，（2分）
∵${\bar x_A}=\frac{1}{10}（{7.8+7.9+8.3+8.3+8.4+8.5+8.5+8.9+9.0+9.4}）=8.5$，
${\bar x_B}=\frac{1}{10}（{7.5+8.0+8.1+8.2+8.5+8.5+8.5+9.0+9.2+9.5}）=8.5$（3分）
$s_A^2=\frac{1}{10}[{（-0.7）^2}+{（-0.6）^2}+{（-0.2）^2}+{（-0.2）^2}+{（-0.1）^2}+0+0+{0.4^2}+{0.5^2}+{0.9^2}]=0.216$，
$s_B^2=\frac{1}{10}[{{{（-1）}^2}+{{（-0.5）}^2}+{{（-0.4）}^2}+{{（-0.3）}^2}+0+0+0+{{0.5}^2}+{{0.7}^2}+1}]=0.324$（4分）
∵$\overline{{x}_{A}}=\overline{{x}_{B}}$，$s_A^2＜s_B^2$，∴從統(tǒng)計學(xué)角度考慮，生產(chǎn)A型號產(chǎn)品合適．（6分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3．（7分）
產(chǎn)品A不低于8.5 的頻率為$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
若將頻率視為概率，則ξ～$B（3，\frac{1}{2}）$．（8分）
∴$P（ξ=k）=C_3^k{（\frac{1}{2}）^k}{（1-\frac{1}{2}）^{3-k}}=C_3^k{（\frac{1}{2}）^3}$，k=0，1，2，3．（9分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

（10分）
∴$Eξ=0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}=\frac{3}{2}$．（12分）

點評 本題考查莖葉圖的作法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．