Question

15．設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是二個不共線向量，知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$-8$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
（1）證明：A、B、D三點共線；
（2）若$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$，且B、D、F三點共線，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理即可證明；
（2）B、D、F三點共線，可知：存在實數λ，使$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{BD}$，代入計算利用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個不共線向量即可得出．

解答 （1）證明：$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BD}$，B為公共點，
∴A、B、D三點共線．
（2）∵B、D、F三點共線，∴存在實數λ，使$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{BD}$，
∴4$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$=λ$（\overrightarrow{a}-4\overrightarrow）$，
∴$（4-λ）\overrightarrow{a}$=（k-4λ）$\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個不共線向量，
∴4-λ=k-4λ=0，
解得k=16．

點評 本題考查了向量共線定理、向量線性運算性質、向量共面定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．