Question

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù),函數(shù),當(dāng)時(shí),取得極大值,且函數(shù)

的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證：當(dāng)時(shí), 為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（3）若,數(shù)列中是否存在？若存在,求出所有相等的兩項(xiàng),若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,即函數(shù)是奇函數(shù).再結(jié)合當(dāng)時(shí),取得極大值，導(dǎo)數(shù)為零，可求得；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)不等式即為：，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上是減函數(shù)，故有時(shí),成立, 用代換得：時(shí),成立；（3）依題意，利用特殊項(xiàng)可知，利用商比較法證明的單調(diào)性，由此求得是唯一結(jié)果.

試題解析：

（1）將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,即函數(shù)是奇函數(shù),,

由題意得：,所以,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)不等式即為：,構(gòu)造函數(shù),

則,所以函數(shù)在上是減函數(shù), 因而時(shí),,即：時(shí),成立,用代換得：時(shí),成立,所以時(shí),成立.

（3）,則由（2）知：,

令,得：,結(jié)合得：,因此,當(dāng)時(shí),有,所以當(dāng)時(shí),,即：,又通過比較的大小知：,因?yàn)?/span>,且時(shí),所以若數(shù)列中存在相等的兩項(xiàng),只能是、與后面的項(xiàng)可能相等,又,所以數(shù)列中存在唯一相等的兩項(xiàng),即：.