Question

13．已知實數(shù)u，v滿足u＞|v|，2u=3（u²-v²），則3u+v的取值范圍是[$\frac{3+2\sqrt{2}}{3}，+∞$）．

Answer 1

分析 把已知條件變形，然后作出可行域，在利用線性規(guī)劃知識求解．

解答 解：由u＞|v|，得$\left\{\begin{array}{l}{v≥0}\\{u＞v}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{v＜0}\\{u＞-v}\end{array}\right.$；
由2u=3（u²-v²），得$（u-\frac{1}{3}）^{2}-{v}^{2}=\frac{1}{3}$．
作出可行域如圖雙曲線右支，

令z=3u+v，化為v=-3u+z，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2u=3（{u}^{2}-{v}^{2}）}\\{v=-3u+z}\end{array}\right.$，消去v得：24u²+（2-18z）u+3z²=0．
由△=（2-18z）²-12×24z²=0，得9z²-18z+1=0．
解得：$z=\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$（舍）或$z=\frac{3+2\sqrt{2}}{3}$．
∴3u+v的取值范圍是[$\frac{3+2\sqrt{2}}{3}，+∞$）．
故答案為：[$\frac{3+2\sqrt{2}}{3}，+∞$）．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．