Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若直線是函數(shù)的切線，求實數(shù)的值；

（3）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）（3）見證明

【解析】

（1）先由解析式，得到函數(shù)定義域，對函數(shù)求導，根據(jù)，即可得出結(jié)果；

（2）先設(shè)切點為，根據(jù)切線方程為，得到，再對函數(shù)求導，得到，設(shè)，用導數(shù)方法研究其單調(diào)性，得到最值，即可求出結(jié)果；

（3）先對函數(shù)求導，設(shè)，用導數(shù)方法研究單調(diào)性，進而可判斷出單調(diào)性，即可得出結(jié)論成立.

解：（1）函數(shù)的定義域為.

因為，所以，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)切點為，則，

因為，所以，得，

所以.

設(shè)，則，

所以當時，，單調(diào)遞增，

當時，，單調(diào)遞減，

所以.

因為方程僅有一解，

所以.

（3）因為，

設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增.

因為，，

所以存在，使得.

當時，，，單調(diào)遞減，

當時，，，單調(diào)遞增，

所以.

因為，所以，，

所以.