Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，（x＜1）}\\{{x}^{3}-9{x}^{2}+24x-16，（x≥1）}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x）=a（a為實(shí)數(shù)）根個(gè)數(shù)不可能為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計(jì)算f（x）的極值，作出y=f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出方程f（x）=a的解的情況．

解答 解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，且f（0）=0；
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=3x²-18x+24，
令f′（x）=3x²-18x+24=0，得x=2或x=4．
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞4時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極大值f（2）=4，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得極小值f（4）=0，
作出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知：當(dāng)a≤-1時(shí)，方程f（x）=a無(wú)解，
當(dāng)-1＜a＜0或a＞4時(shí)，方程f（x）=a有1個(gè)解，
當(dāng)a=0或e-1≤a＜4時(shí)，方程f（x）=a有3個(gè)解，
當(dāng)a=4時(shí)，方程f（x）=a有2個(gè)解，
當(dāng)0＜a＜e-1時(shí)，方程f（x）=a有4個(gè)解．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．