Question

設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）求證：當(dāng)且時(shí)，．

 

Answer 1

(1)在上減,在上增;當(dāng)時(shí),取極小值（2）見解析

【解析】

試題分析：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計(jì)算和不等式性質(zhì)的應(yīng)用．

（1）由，知，令，得到

，列表討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值．

（2）設(shè)，于是，由（1）知當(dāng)a＞ln2-1時(shí)，最小值為.于是對(duì)任意x∈R，都有，所以g（x）在單調(diào)遞增．由此能夠證明.

試題解析：（1）由，知，令，得到

，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí),

，即取極小值

（2）設(shè)函數(shù),則,由（1）知的極小值也是最小值為，當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)，的最小值，恒成立，即在內(nèi)，在單調(diào)遞增，即即

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明