Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₄=4（a₃-a₂），數(shù)列{b_n}滿足b_n=-1+2log₂a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（Ⅱ）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=2，a₄=16，
∴16=2q³，解得q=2．
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
∴b_n=-1+2log₂a_n=2n-1．
（Ⅱ）：∵c_n=（2n-1）•2ⁿ，
則此數(shù)列的前n項和S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．