Question

2．已知z₀=2+2i，|z-z₀|=$\sqrt{2}$，
（1）求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是什么曲線．
（2）求z為何值時(shí)，|z|有最大、最小值，并求出|z|有最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），代入|z-z₀|=$\sqrt{2}$，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式化簡(jiǎn)即可得出．
（2）當(dāng)Z點(diǎn)在OZ ₀的連線上時(shí)，|z|有最大值或最小值．

解答 解（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由|z-z₀|=$\sqrt{2}$，
即|x+yi-（2+2i）|=|（x-2）+（y-2）i|=$\sqrt{2}$，解得（x-2）²+（y-2）²=2，
∴復(fù)數(shù)z點(diǎn)的軌跡是以Z₀（2，2）為圓心，
半徑為$\sqrt{2}$的圓．                               
（2）當(dāng)Z點(diǎn)在OZ ₀的連線上時(shí)，|z|有最大值或最小值，
∵|OZ ₀|=2$\sqrt{2}$，半徑r=$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)z=1+i時(shí)，|z|_min=$\sqrt{2}$，
當(dāng)z=3+3i時(shí)，|z|_max=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、幾何意義、圓的復(fù)數(shù)形式的方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．