Question

【題目】已知關于直線對稱，且圓心在軸上.

（1）求的標準方程；

（2）已經動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.

①記四邊形的面積為，求的最小值；

②證明直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②證明見解析

【解析】

（1）根據圓的一般式，可得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，結合圓心在軸上，即可求得圓C的標準方程。

（2）①根據切線性質及切線長定理，表示出的長，根據圓的性質可知當最小時，即可求得面積的最小值；②設出M點坐標，根據兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標及半徑，進而求得的方程，根據兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標。

（1）由題意知，

圓心在直線上，即，

又因為圓心在軸上，

所以，

由以上兩式得：，，

所以.

故的標準方程為.

（2）①如圖，的圓心為，半徑，

因為、是的兩條切線，

所以，，

故

又因為，

根據平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.

易知，當點坐標為時，

.

此時.

②設點的坐標為，

因為，

所以、、、四點共圓.

其圓心為線段的中點，，

設所在的圓為，

所以的方程為：，

化簡得：，

因為是和的公共弦，

所以，兩式相減得，

故方程為：，

當時，，

所以直線恒過定點.