Question

15．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右兩個焦點，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短軸的一個端點到一個焦點的距離為$\sqrt{3}$．設(shè)點P是橢圓上的動點，過點F₂作∠F₁PF₂的外角平分線PR的垂線，交F₁P的延長線于E，垂足為R．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點R的軌跡方程；
（3）求證：$\overrightarrow{R{F_1}}•\overrightarrow{R{F_2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由題意可得：a=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)、中點坐標公式即可得出．
（3）利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可證明．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=1\end{array}\right.$，
橢圓的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）設(shè)F₂R交F₁P于Q，由題意知直線m垂直平分線段F₂E．
得到PF₂=PE，又O為F₁F₂中點，R為F₂E的中點，
∴$OR=\frac{1}{2}{F_1}E=\frac{1}{2}（{F_1}P+PE）=\frac{1}{2}（{F_1}P+P{F_2}）=\frac{1}{2}•2a=a=\sqrt{3}$．
因此所求R點軌跡方程為x²+y²=3（y≠0）．
（3）證明：設(shè)R（x，y），
則$\overrightarrow{R{F_1}}=（-\sqrt{2}-x，0-y），\overrightarrow{R{F_2}}=（\sqrt{2}-x，0-y）$，
∴$\overrightarrow{R{F_1}}•\overrightarrow{R{F_2}}=-（2-{x^2}）+{y^2}={x^2}+{y^2}=1$．

點評 本題考查了橢圓與圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、數(shù)量積運算性質(zhì)、中點坐標公式、線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．