12.如圖,OM∥AB,點(diǎn)P在由射線OM,線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界),且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$,給出以下結(jié)論:
①x的取值范圍是(-∞,0);
②y的取值范圍是(0,$\frac{1}{2}$);
③在陰影區(qū)域內(nèi)一定存在點(diǎn)P,使得x+y=1;
④若x=-$\frac{1}{2}$,則$\frac{1}{2}$<y<$\frac{3}{2}$.
其中正確結(jié)論的序號是①④.(填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號)

分析 結(jié)合圖形,根據(jù)條件即可得到$\overrightarrow{OP}=(x+y)\overrightarrow{OB}+(-x)\overrightarrow{OM}$,從而有$\left\{\begin{array}{l}{0<x+y<1}\\{-x>0}\end{array}\right.$,這樣便可判斷每個結(jié)論的正誤,找出正確結(jié)論的序號.

解答 解:根據(jù)條件,$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$;
∴$\overrightarrow{OP}=(x+y)\overrightarrow{OB}+(-x)\overrightarrow{OM}$;
點(diǎn)P在陰影區(qū)域,不含邊界;
∴$\left\{\begin{array}{l}{0<x+y<1}\\{-x>0}\end{array}\right.$;
∴x<0,為使0<x+y<1,y的范圍不會為(0,$\frac{1}{2}$);
∵P點(diǎn)不和B重合,∴x+y≠1;
顯然,$x=-\frac{1}{2}$時,$\frac{1}{2}<y<\frac{3}{2}$;
∴①④正確.
故答案為:①④.

點(diǎn)評 考查向量加法的幾何意義,相反向量和相等向量的概念,以及向量加法的平行四邊形法則,清楚點(diǎn)P所在的區(qū)域.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,若在直線x=3上存在點(diǎn)P使得線段PF2的垂直平分線與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)T,證明:F1,T,P三點(diǎn)共線.

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