Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+b（lnx-x），已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，得到f′（1）=2a=-1，即可求a的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值點．

解答 解：（1）因為f（x）=ax²+b（lnx-x），
所以f′（x）=2ax+$\frac{x}$-b，
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，
所以f′（1）=2a=-1，
所以a=-$\frac{1}{2}$．
（2）f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+b（lnx-x），其定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-bx+b}{x}$，
令h（x）=-x²-bx+b，x∈（0，+∞），△=b²+4b，
①當(dāng)-4≤b≤0時，有h（x）≤0，即f′（x）≤0，所以在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故在區(qū)間（0，+∞）無極值點．
②當(dāng)b＜-4時，△＞0，令h（x）=0，有x₁=-$\frac{2}$-$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$，x₂=-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$，x₂＞x₁＞0，
當(dāng)x∈（0，x₁）時，即f′（x）＜0，得f（x）在（0，x₁）上遞減；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，h（x）＞0，即f′（x）＞0，得f（x）在（x₁，x₂_上遞增；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，h（x）＜0，即f′（x）＜0，得f（x）在（x₂，+∞）上遞減，
此時f（x）有一個極小值點-$\frac{2}$-$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$和一個極大值點．
③當(dāng)b＞0時，△＞0，令h（x）=0，有，
當(dāng)x∈（0，x₂）時，h（x）＜0，即f′（x）＜0，得f（x）在上遞增；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，h（x）＜0，即f′（x）＜0，得f（x）在x∈（x₂，+∞）上遞減，
此時有唯一的極大值點-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$．
綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)f（x）有一個極小值點-$\frac{2}$-$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$和一個極大值點-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$；
當(dāng)-4≤b≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）無極值點；
當(dāng)b＞0時，函數(shù)有唯一的極大值點-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$，無極小值點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．