Question

12．在極坐標系中，O為極點，已知圓C的圓心為$（1，\frac{π}{4}）$，半徑r=1，點P在圓C上運動．
（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）在直角坐標系（與極坐標系取相同的長度單位，且以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸）中，若Q為線段OP的中點，求點Q軌跡的直角坐標方程．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理即可得出．
（II）在直角坐標系中，圓心$C（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，可得圓C的方程，設Q（x，y），則P（2x，2y），代入圓的方程即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設點P的極坐標為（ρ，θ），
由余弦定理得${1^2}={ρ^2}+{1^2}-2ρcos（θ-\frac{π}{4}）$，
即${ρ^2}=2ρcos（θ-\frac{π}{4}）$，∴圓C的極坐標方程為$ρ=2cos（θ-\frac{π}{4}）$．
（Ⅱ）在直角坐標系中，圓心$C（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
圓C的方程為${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$．
設Q（x，y），則P（2x，2y），
由點P在圓C上得${（2x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（2y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$，即${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}=\frac{1}{4}$，
故點Q軌跡的直角坐標方程為${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、圓的標準方程、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．