Question

20．已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+x²+1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對任意不相等的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有|f（x₁）-f（x₂）≥4|x₁-x₂|成立，求非負實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，再求導，分類討論，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調性即可求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）不妨設x₁＞x₂，轉化為（x₁）-4x₁≥f（x₂）-4x₂恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)和函數(shù)的最值的關系即可求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為（0，+∞）
∴$f'（x）=\frac{a+1}{x}+2x=\frac{{2{x^2}+a+1}}{x}$，
當a+1≥0時，f′（x）＞0恒成立，
∴當a≥-1時，y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調遞增，
當a+1＜0時，若x＞$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$，f′（x）＞0，
若0＜x＜$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$，f′（x）＜0，
∴當a＜-1時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$）上單調遞減，在區(qū)間（$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$，+∞）上單調遞增，
（Ⅱ）不妨設x₁＞x₂，
又∵a≥0，
∴y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|恒成立，等價于f（x₁）-f（x₂）≥4x₁-4x₂恒成立，
即就是f（x₁）-4x₁≥f（x₂）-4x₂恒成立
令g（x）=f（x）-4x，x∈（0，+∞），則y=g（x）為單調遞增函數(shù)
即就是g'（x）≥0恒成立，
∵$g'（x）=\frac{{2{x^2}-4x+a+1}}{x}≥0$
令h（x）=2x²-4x+a+1，x∈（0，+∞），
∵h（x）_min=h（1）=a-1，
∴a≥1，
故a的取值范圍為[1，+∞）

點評 該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．