Question

10．已知直線l：mx-y-1=0（m∈R），圓C：x²-2x+y²-3=0．
（1）證明：不論m取任何實(shí)數(shù)，直線l總于圓C相交；
（2）設(shè)直線l將圓C分割成的兩端圓弧的弧長(zhǎng)之比為λ，試探求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將直線l變形后，得出直線l恒過(guò)A，然后將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)及半徑r，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)A到圓心C的距離d，根據(jù)d小于r得到A點(diǎn)在圓C內(nèi)，進(jìn)而確定出直線l與圓C總相交；
（2）由題意，CA⊥l時(shí)，圓心角為90°，λ=3或$\frac{1}{3}$；直線l過(guò)圓心C時(shí)，λ=1，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：mx-y-1=0（m∈R），恒過(guò)A（0，-1），
將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）²+y²=4，
∴圓心C為（1，0），半徑r=2，
∵點(diǎn)A到圓心C的距離d=$\sqrt{2}$＜2=r，
∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，
則l與C總相交；
（2）解：由題意，CA⊥l時(shí)，圓心角為90°，λ=3或$\frac{1}{3}$；
直線l過(guò)圓心C時(shí)，λ=1，∴λ∈[$\frac{1}{3}，1$]∪[1，3]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及點(diǎn)與圓位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題．