Question

18．已知⊙P：x²+y²+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0
（1）若m=0，判斷直線l與⊙P位置關系；
（2）若直線l與⊙P相交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心到直線的距離與半徑比較，即可判斷直線l與⊙P位置關系；
（2）設出A，B的坐標，根據(jù)OA⊥OB可推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，把A，B坐標代入求得關系式，把直線方程與圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂，x₁•x₂，利用直線方程求得y₁•y₂的表達式，最后聯(lián)立方程求得m，利用判別式驗證成立，答案可得．

解答 解：（1）m=0，⊙P：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{37}{4}$，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-\frac{1}{2}+6-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜r，
∴直線l與⊙P相交；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
當OA⊥OB時，K_OA•K_OB=-1⇒x₁x₂+y₁y₂=0（1）
又直線與圓相交于A，B⇒A，B的橫坐標是方程5x²+10x+（4m-27）=0的兩根
有：x₁+x₂=-2，x₁•x₂=$\frac{4m-27}{5}$（2）
又A，B在直線x+2y-3=0上，則y₁•y₂=$\frac{1}{2}$（3-x₁）•（3-x₂）=$\frac{1}{2}$[9-3（x₁+x₂）+x₁x₂]（3）
由（1）（2）（3）得：m=3，且檢驗△＞O成立
故存在m=3，使OA⊥OB．

點評 本題主要考查了圓的方程的綜合運用．本題的最后對求得的結果進行驗證是不可或缺的步驟，保證了結果的正確性．