Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+5）+\frac{4}{3}（x+1），-4≤x≤-1}\\{2|x-1|-2，-1＜x≤4}\end{array}\right.$，g（x）=-$\frac{1}{8}$x²-x+2（-4≤x≤4）給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f[g（x）]有且只有三個(gè)零點(diǎn)；②函數(shù)y=g[f（x）]有且只有三個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=f[f（x）]有且只有六個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)y=g[g（x）]有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分別求出f（x），g（x）的單調(diào)性與值域，利用函數(shù)的單調(diào)性得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：f（x）在[-4，-1]上是增函數(shù)，在（-1，1]上是減函數(shù)，在[1，4]是增函數(shù)，
且f（-4）=-4，f（-1）=2，f（1）=-2，f（4）=4．
∴f（x）在區(qū)間（-4，-1），（-1，1），（1，4）上各有1個(gè)零點(diǎn)，且f（x）的值域?yàn)閇-4，4]．
設(shè)f（x）的三個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，x₃，∵f（-3）=log₂2-$\frac{8}{3}$＜0，f（-2）=log₂3-$\frac{4}{3}$＞0，
∴-3＜x₁＜-2，令2|x-1|-2=0得x₂=0，x₃=1．
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

做出y=g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

顯然g（x）在[-4，4]上為減函數(shù)，且g（x）的值域?yàn)閇-4，4]．
令g（x）=0得x=4$\sqrt{2}$-4，故g（x）的零點(diǎn)為4$\sqrt{2}$-4．
（1）設(shè)f[f（x）]=0，則f（x）=x₁，或f（x）=0，或f（x）=2．
∵-3＜x₁＜-2，
由y=f（x）的函數(shù)圖象可知f（x）=x₁只有一解，f（x）=0有三解，f（x）=2有兩解，
∴f[f（x）]有六個(gè)零點(diǎn)，故③正確．
（2）設(shè)f[g（x）]=0則g（x）=x₁或g（x）=0或g（x）=2，
顯然以上方程各有一解，∴f[g（x）]由三個(gè)零點(diǎn)，故①正確．
（3）設(shè)g[f（x）]=0，則f（x）=4$\sqrt{2}$-4，
∵0$＜4\sqrt{2}-4＜2$，由f（x）的函數(shù)圖象可知f（x）=4$\sqrt{2}$-4有三個(gè)解，
∴g[f（x）]有三個(gè)零點(diǎn)，故②正確．
（4）設(shè)g[g（x）]=0，則g（x）=4$\sqrt{2}$-4，
由g（x）的函數(shù)圖象可知g（x）=4$\sqrt{2}-4$有一解，
∴g[g（x）]有一個(gè)零點(diǎn)，故④正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本初等函數(shù)的圖象，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．