Question

20．判斷下列函數的奇偶性．
（1）f（x）=x³|x|；
（2）f（x）=x²sinx；
（3）y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$；
（4）f（x）=ln|x|-secx；
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜0}\\{1+x，x≥0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的判斷，及函數奇偶性的性質，即可判斷函數的奇偶性．

解答 解：（1）f（x）=x³|x|，
y=x³為奇函數，y=|x|為偶函數，
根據函數奇偶性的性質，f（x）=x³|x|，為奇函數，
（2）f（x）=x²sinx，
y=x²為偶函數，y=sinx為奇函數，
∴由奇函數和偶函數的乘積為奇函數，
（3）令f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，定義域為R，
則f（-x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=-f（x），
y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，為奇函數，
（4）f（x）=ln|x|-secx定義域為x≠0，
f（-x）=ln|-x|-sec（-x）=ln|x|-secx=f（x），
∴函數f（x）=ln|x|-secx為偶函數，
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜0}\\{1+x，x≥0}\end{array}\right.$，定義域為R，
當x＜0，f（-x）=1-x=f（x），
當x≥0．f（-x）=1-（-x）=1+x=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜0}\\{1+x，x≥0}\end{array}\right.$，為偶函數．

點評 本題考查函數奇偶性的判斷，考查函數奇偶性的性質，屬于中檔題．