Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn ， 若a1a5=64，S5﹣S3=48．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）對于正整數(shù)k，m，l（k＜m＜l），求證：“m=k+1且l=k+3”是“5ak ， am ， al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；
（3）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6，且集合 中有且僅有3個元素，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，

∵數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，∴ ，解得a3=8，

又∵S5﹣S3=48，∴ ，解得q=2，

∴ ；

（2）解：（ⅰ）必要性：設(shè)5ak，am，al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，

①若25ak=am+al，則102k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，

∴ ，∴ ．

②若2am=5ak+al，則22m=52k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左邊為偶數(shù)，等式不成立，

③若2al=5ak+am，同理也不成立，

綜合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立

（ⅱ）充分性：設(shè)m=k+1，l=k+3，

則5ak，am，al這三項(xiàng)為5ak，ak+1，ak+3，即5ak，2ak，8ak，

調(diào)整順序后易知2ak，5ak，8ak成等差數(shù)列，

所以充分性也成立．

綜合（ⅰ）（ⅱ），原命題成立

（3）解：因?yàn)? ，

即 ，①

∴當(dāng)n≥2時， ，②

則②式兩邊同乘以2，得 ，③

∴①﹣③，得2bn=4n﹣2，即bn=2n﹣1（n≥2），

又當(dāng)n=1時， ，即b1=1，適合bn=2n﹣1（n≥2），

∴bn=2n﹣1．…14分

∴ ，∴ ，

∴n=2時， ，即 ；

∴n≥3時， ，此時 單調(diào)遞減，

又 ， ， ， ，∴ ．

【解析】1、根據(jù)等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)得到a 1 a 5 = a 3 2 = 64，得到a3=8，再根據(jù)S5﹣S3=a 4+ a 5 =48解得q=2得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。
2、由已知可得先證明必要性，利用an都是整數(shù)的性質(zhì)分別討論5ak,,am, al不同的排序情況。充分性，適當(dāng)對5ak,,am, al進(jìn)行排列可得結(jié)論。
3、根據(jù)對遞推公式的變換求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式再通過數(shù)列{}的通項(xiàng)公式判斷該數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而確定M的元素即得出的取值范圍。