Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，PC與平面PAD所成角的正弦值為

6

4

，E、F分別是AB、PC的中點，PA⊥平面ABCD．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求PA的長．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PD的中點M，連接AM，F(xiàn)M，由MF∥CD∥AE，MF=AE=1，可得AEMF是平行四邊形，從而證明EF∥平面PAD；
（2）作CH⊥AD于H點，可證CH⊥PH，可得sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

，可得CH=

3

，HD=1，AH=1，有由sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

可解得PC=2

2

，可得PH=

5

，即可求得PA的值．

解答： 證明：（1）取PD的中點M，連接AM，F(xiàn)M，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，E、F分別是AB、PC的中點，
∴MF∥CD∥AE，MF=AE=1，
∴AEMF是平行四邊形，EF∥AM，
∵AM?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）作CH⊥AD于H點，
∵PA⊥平面ABCD．∴PA⊥CH，
∴CH⊥平面PAD，
∴CH⊥PH，
∵PC與平面PAD所成角的正弦值為

6

4

，則sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，
∴CH=

3

，HD=1，AH=1，
∴由sin∠HPC=

6

4

=

HC

PC

可解得PC=2

2

，
∴PH=

PC2-CH2

=

5

，
∴PA=

PH2-AH2

=2．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識的考查．